对称要素和对称操作

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使物体或图形的相同部分重复出现的操作称为对称操作。在进行对称操作时，总要借助于一些假想的几何要素(点、线、面)，如绕直线进行“旋转”操作;对一个平面进行“反映”操作;对一个点进行“反伸 ”操作。在进行对称操作时所用的几何要素称为对称要素。

晶体外形上可能存在的对称要素如下。

1.对称面(P)

对称面是一个假想的平面，它把晶体平分为互为镜像的两个相等部分。其对称操作是对一个平面的反映。

在图2－2a中，平面P1和P2(与纸面垂直)是对称面，因它们都可以把图形ABDE分成两个互为镜像的相等部分。图2－2b中的AD却不是图形ABDE的对称面，因为它虽然把图形ABDE平分为△AED和△ABD两个相等的部分，但这两部分不是互为镜像关系，△AED的镜像是△AE1D。

在晶体上对称面的出露位置:

(1)垂直平分晶面(图2－3a和b);

(2)垂直平分晶棱(图2－3a);

(3)包含晶棱并平分晶面夹角(图2－3b) 。

图2-2 P1和P2是对称面，AD不是对称面

图2-3 立方体的9个对称面

在一个晶体上，可以没有对称面，也可以有一个或若干个对称面，但不能多于9个。对称面的符号是P。描述一个晶体有几个对称面，就把对称面的数目写在符号P的前面，如3P、9P等。

2.对称轴(Ln)

对称轴是通过晶体中心的一条假想直线，晶体围绕它旋转一定角度后，晶体的相等部分能重复出现。其对称操作是围绕一根直线的旋转。当晶体围绕对称轴旋转360°时，晶体上相等部分重复出现的次数，称为轴次(n)。使相等部分重复出现所必须旋转的最小角度，称为基转角(α) 。二者的关系为:n=360°/α。

对称轴的符号为L ，轴次写在L的右上角，如L4、L6等。

晶体外形上可能有的对称轴如表2－1所列。

表2－1晶体外形上可能有的对称轴

图2－4为分别具有L2 、L3、L4、L6的单锥体及其断面。从图2－4可以清楚地看出，这些锥体绕轴旋转一定基转角后，相同角顶、晶面和晶棱均重复出现。例如具L4的四方单锥，绕L4旋转90°后，锥体上的相等部分就重复出现，绕L4旋转360° ，相等部分就出现四次。

图2-4 分别具有L2、L3、L4 、L6的单锥体及其断面

轴次高于二次的对称轴，称为高次轴，如L3、L4、L6。

晶体对称定律:在晶体中没有五次对称轴及高于六次的对称轴。这是由于它们不符合空间格子规律。在空间格子中，垂直对称轴必定有网面存在，其网孔的形状与对称轴的轴次是相对应的。从图2－5可以看出，由L2、L3 、L4、L6所决定的多边形网孔均能无间隙地布满整个平面，符合空间格子的规律，而由五次、七次、八次对称轴所决定的正五边形、正七边形、正八边形网孔不能无间隙地布满整个平面，不符合空间格子规律，所以在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴，这就是晶体对称定律。

图2-5 垂直各种对称轴的面网的网孔形状

一次对称轴(L1)无实际意义，因为任何晶体绕任意直线旋转360° ，都可以恢复原状。

在一个晶体中，可以没有对称轴，也可以有一种或几种对称轴，而每一种对称轴又可以有几个。在描述晶体对称特点时，对称轴的数目写在符号Ln的前面，如3L4 、4L3、6L2等。

在晶体上，对称轴可能出露的位置:

(1)通过晶棱的中点;

(2)通过晶面的中心;

(3)通过角顶。

3.对称中心(C)

对称中心是晶体内部一个假想的点，通过这一点的直线两端等距离的地方有晶体上相等的部分。其对称操作是对一点的反伸。

图2－6中的C点即为对称中心。过C点所作的直线上，距C点等距离的两端可以找到对应的点，如A和A1、B和B1;也可以看成由A经过C反伸到A1 ，由B经过C反伸至B1 。

晶体如果有对称中心，则晶体上每一晶面都可找到另一晶面与之平行且相等。如果晶面本身不具对称性，如不等边三角形晶面或其他具异向性的晶面，其对应晶面必然是反向平行的(图2－7)。因此，要确定晶体或晶体模型有无对称中心时，可将晶体模型放在桌上，看晶体上面是否有一晶面与下面的晶面(与桌面接触的晶面)平行而且相等。转动晶体，重复这样的观察，如果晶体上所有的晶面都可找到与其平行而且相等的晶面，说明晶体有对称中心，否则就没有对称中心。

不是所有的晶体都有对称中心。晶体外形上若有对称中心，只可能有一个。对称中心的符号是C。

4.旋转反伸轴(Lni)

旋转反伸轴是晶体中一根假想的直线，晶体围绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的一个点进行反伸，可使晶体上相等的部分重复。其对称操作是围绕一根直线的旋转和对此直线上一个点的反伸。

旋转反伸轴的符号为Lni，i是反伸之意，n为轴次，n可为1 、2、3、4 、6 。现以L4i为例来加以说明。图2－8所画的结晶多面体为四方四面体，当其绕L4i旋转90°后，角顶A、B、E、D到达A' 、B'、E'、D'的位置，再对L4i上的一点C(晶体中心)进行反伸，使A' 、B'、E'、D'分别与旋转前的D 、E、B、A相重合，整个图形重复为旋转前的形象。为便于理解，也可以就一个晶面来分析，如晶面ABD绕L4i旋转90°到达A'B'D'位置，再经L4i上的一点C(晶体中心)的反伸，与旋转前的一个晶面DEA重合，其他晶面依此类推，整个晶体重复为原来的形象，旋转360°重复四次。

图2-6 具对称中心的晶体

图2-7 由对称中心联系起来的两个反方向平行的不等边三角形晶面

图2-8 具L4i的四方四面体

需要指出的是，除L4i外，其余各种旋转反伸轴都可以用其他简单的对称要素或它们的组合来代替。在晶体的对称分类中，也只有L4i及L6i具有独立的意义。具L4i或L6i对称的晶体没有对称中心。

L1i=CL2i=PL3i=L3CL6i=L3P(P⊥L3)(L6i在对称分类上具有独立意义)

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